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Función matemática

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No debe confundirse con Función (informática).

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

...,

Estación → E,

Museo → M,

Arroyo → A,

Rosa → R,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k², o sencillamente f(k) = k²;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Historia

Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en en siglo XVII.

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.¹ René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».
El simbolo f(x) fue utilizado por primera vez por Leonhard Euler, en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736 ^{2 3 4} .
Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.
La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.
Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918), partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado.^{[cita requerida]}
Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos.⁵ También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

Introducción

Representasión Gráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s².

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.
Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)
Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:

Tiempo t (s)	Distancia d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1,0	0,3
1,5	0,7
2,0	1,3
2,5	2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t²,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.
Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t²/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

Definición

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

Ejemplos

• Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
• Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0}, y con codominio R.
• Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}.
• Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.
• En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Funciones con múltiples variables

Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.
La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A₁ y A₂, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a₁, a₂), con primera componente en A₁ y segunda componente en A₂. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A₁ y A₂, y se denota por A₁ × A₂.
De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto R⁺ × R⁺, el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a₁, ..., a_n), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto N × N.

Notación. Nomenclatura

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.⁶

Ejemplos

• La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x³ para cada número real x.
• La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.
• La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.
• La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.
• La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a₁, a₂) no se denota por f((a₁, a₂)), sino por f(a₁, a₂), y similarmente para más variables.
Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:

• Función real. f : R → R
• Función compleja. f : C → C
• Función escalar. f : Rⁿ → R
• Función vectorial. f : Rⁿ → R^m

En particular, las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto.

Imagen e imagen inversa

Artículo principal: Conjunto imagen.

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.

Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a). El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.

La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las imágenes de f y X se denotan:

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f−1(b). La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y, y se escribe f−1(Y).

Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:

Ejemplos

• La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f⁻¹(R⁺) = R⁺.
• El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0.
• Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:

γ(Perro) = Canis, y γ⁻¹(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

• Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de la función área A es R⁺.
• En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v⁻¹(Partido A) tiene 2 elementos.

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple: Tienen el mismo dominio: A = C Tienen el mismo codominio: B = D Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Artículos principales: Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas: o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos: Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio: o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.
Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:

Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como todas las funciones—, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.

• La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
• La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
• La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
• La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
• En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades similares a las de la multiplicación.

Composición de funciones

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g.

Artículo principal: Composición de funciones.

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

• La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
• Dadas las funciones reales h₁: R → R y h₂: R → R dadas por h₁(x) = x² y h₂(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h₁ ∘ h₂ y h₂ ∘ h₁. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

(h₁ ∘ h₂)(x) = h₁(h₂(x)) = h₁(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1, y

(h₂ ∘ h₁)(x) = h₂(h₁(x)) = h₂(x²) = x² + 1

• La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Función identidad

Artículo principal: Función identidad.

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función idA : A → A que a cada a ∈ A le asocia idA(a) = a.

También se denota como I_A. La función identidad actúa como un elemento neutro al componer funciones, ya que no «hace nada».

Dada una función cualquiera f : A → B se tiene:

Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:

Función inversa

Artículo principal: Función inversa.

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple: La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f−1 es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva.

La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f⁻¹(b) puede denotar tanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la función inversa de f (un elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

Ejemplos.

• La función «exponencial» h : R → R, que asocia a cada número real su exponencial, h(x) = e^x, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h.
• Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por:
   Q(r) = 0,15 × r
  Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias:
   R(q) = 6,65 × q
• La función cubo f(x) = x³ es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f⁻¹(x) = ³√x.
• La función de clasificación en géneros γ : M → G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él.
• La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor:

Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes

Restricción y extensión

Artículo principal: Restricción de una función.

La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la primera es una extensión de la segunda.

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, de forma que el dominio de g sea un subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y cuyas imágenes coinciden en este subconjunto: se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es una extensión de g.

La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C ⊆ A se denota por f|_C.

Representación de funciones

Artículo principal: Representación gráfica de una función.

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

• usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma . Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

• Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

• Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Definición formal

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente: El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:⁷

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que: G(f) ⊂ A × B Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ G(f) Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈ G(f), entonces b = c.

De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

Ecuación

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El primer uso del signo igualdad, la ecuación equivale a la notación moderna 14x+15=71, tomado de The Whetstone of Witte de Robert Recorde (1557).

En matemáticas, una ecuación es una igualdad^{nota 1} entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.^{nota 2}

Introducción

De manera más general, una ecuación tendrá la forma

donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso tendremos una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación real (donde las incógnitas están sobre los números reales):

tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores

Uso de ecuaciones

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 Kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

• Ecuaciones algebraicas
  • Polinómicas o polinomiales
  • De primer grado o lineales
  • De segundo grado o cuadráticas
  • Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios
• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.
  • Diofánticas o diofantinas
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales

Definición general

Dada una aplicación y un elemento del conjunto , resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicación debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta con definir la aplicación y la ecuación se transforma en .

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando es un cuerpo y un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.

Existencia de soluciones

En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.

Ecuación polinómica

Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

con a diferente de cero.
Su solución es sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.
Dada la ecuación:

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se dice que: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3^x = y pueda despejarse por x = log₃y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.
En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.

ECUACION DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

http://www.youtube.com/watch?v=la1Rmj5hsIc&feature=related

Ecuación de segundo grado

Artículo principal: Ecuación de segundo grado.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se plantea sobre siempre se tienen dos soluciones:

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales se requiere que y para que tenga soluciones sobre los números racionales se requiere .

Operaciones admisibles en una ecuación

Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:

1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.
5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.

Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:

1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
2. Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.